Après une rapide présentation de quelques tranches de vie des géométries non euclidiennes depuis leur naissance jusqu'à leur maturité, nous abordons la synthèse algébrique de l'approche axiomatique de la géométrie plane qu'est la théorie des plans métriques de Bachmann. Les différentes illustrations que l'on peut en donner avec des logiciels de géométrie dynamique laissent envisager, dans l'esprit des travaux de la commission Kahane, tout le bénéfice que l'enseignement tirerait d'une formation initiale des enseignants de mathématiques aux géométries non euclidiennes.